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浅谈慢速的二次算法与快速的 hashmap
大家好！昨天我与一位正在准备编程面试并努力学习算法基础知识的朋友进行了一些交流。
我们聊到了二次时间与线性时间算法的话题，我认为在这里写这篇文章会很有趣，因为避免二次时间算法不仅在面试中很重要——有时在现实生活中了解一下也是很好的！后面我会快速解释一下什么是“二次时间算法” :)
以下是我们将要讨论的 3 件事：
- 二次时间函数比线性时间函数慢得非常非常多
- 有时可以通过使用 hashmap 把二次算法变成线性算法
- 这是因为 hashmap 查找非常快（即时查询！）
我会尽量避免使用数学术语，重点关注真实的代码示例以及它们到底有多快/多慢。
目标问题：取两个列表的交集
我们来讨论一个简单的面试式问题：获取 2 个数字列表的交集。 例如，intersect([1,2,3], [2,4,5]) 应该返回 [2]。
这个问题也是有些现实应用的——你可以假设有一个真实程序，其需求正是取两个 ID 列表交集。
“显而易见”的解决方案：
我们来写一些获取 2 个列表交集的代码。下面是一个实现此需求的程序，命名为“quadratic.py”。
import sys
# 实际运行的代码
def intersection(list1, list2):
result = []
for x in list1:
for y in list2:
if x == y:
result.append(y)
return result
# 一些样板，便于我们从命令行运行程序，处理不同大小的列表
def run(n):
# 定义两个有 n+1 个元素的列表
list1 = list(range(3, n)) + [2]
list2 = list(range(n+1, 2*n)) + [2]
# 取其交集并输出结果
print(list(intersection(list1, list2)))
# 使用第一个命令行参数作为输入，运行程序
run(int(sys.argv[1]))
程序名为 quadratic.py（LCTT 译注：“quadratic”意为“二次的”）的原因是：如果 list1 和 list2 的大小为 n，那么内层循环（if x == y）会运行 n^2 次。在数学中，像 x^2 这样的函数就称为“二次”函数。
quadratic.py 有多慢？
用一些不同长度的列表来运行这个程序，两个列表的交集总是相同的：[2]。
$ time python3 quadratic.py 10
[2]
real 0m0.037s
$ time python3 quadratic.py 100
[2]
real 0m0.053s
$ time python3 quadratic.py 1000
[2]
real 0m0.051s
$ time python3 quadratic.py 10000 # 10,000
[2]
real 0m1.661s
到目前为止，一切都还不错——程序仍然只花费不到 2 秒的时间。
然后运行该程序处理两个包含 100,000 个元素的列表，我不得不等待了很长时间。结果如下：
$ time python3 quadratic.py 100000 # 100,000
[2]
real 2m41.059s
这可以说相当慢了！总共花费了 160 秒，几乎是在 10,000 个元素上运行时（1.6 秒）的 100 倍。所以我们可以看到，在某个点之后，每次我们将列表扩大 10 倍，程序运行的时间就会增加大约 100 倍。
我没有尝试在 1,000,000 个元素上运行这个程序，因为我知道它会花费又 100 倍的时间——可能大约需要 3 个小时。我没时间这样做！
你现在大概明白了为什么二次时间算法会成为一个问题——即使是这个非常简单的程序也会很快变得非常缓慢。
快速版：linear.py
好，接下来我们编写一个快速版的程序。我先给你看看程序的样子，然后再分析。
import sys
# 实际执行的算法
def intersection(list1, list2):
set1 = set(list1) # this is a hash set
result = []
for y in list2:
if y in set1:
result.append(y)
return result
# 一些样板，便于我们从命令行运行程序，处理不同大小的列表
def run(n):
# 定义两个有 n+1 个元素的列表
list1 = range(3, n) + [2]
list2 = range(n+1, 2*n) + [2]
# 输出交集结果
print(intersection(list1, list2))
run(int(sys.argv[1]))
（这不是最惯用的 Python 使用方式，但我想在尽量避免使用太多 Python 思想的前提下编写代码，以便不了解 Python 的人能够更容易理解）
这里我们做了两件与慢速版程序不同的事：
- 将
list1转换成名为set1的 set 集合 - 只使用一个 for 循环而不是两个
看看 linear.py 程序有多快
在讨论 为什么 这个程序快之前，我们先在一些大型列表上运行该程序，以此证明它确实是很快的。此处演示该程序依次在大小为 10 到 10,000,000 的列表上运行的过程。（请记住，我们上一个的程序在 100,000 个元素上运行时开始变得非常非常慢）
$ time python3 linear.py 100
[2]
real 0m0.056s
$ time python3 linear.py 1000
[2]
real 0m0.036s
$ time python3 linear.py 10000 # 10,000
[2]
real 0m0.028s
$ time python3 linear.py 100000 # 100,000
[2]
real 0m0.048s <-- quadratic.py took 2 minutes in this case! we're doing it in 0.04 seconds now!!! so fast!
$ time python3 linear.py 1000000 # 1,000,000
[2]
real 0m0.178s
$ time python3 linear.py 10000000 # 10,000,000
[2]
real 0m1.560s
在极大型列表上运行 linear.py
如果我们试着在一个非常非常大的列表（100 亿 / 10,000,000,000 个元素）上运行它，那么实际上会遇到另一个问题：它足够 快 了（该列表仅比花费 4.2 秒的列表大 100 倍，因此我们大概应该能在不超过 420 秒的时间内完成），但我的计算机没有足够的内存来存储列表的所有元素，因此程序在运行结束之前崩溃了。
$ time python3 linear.py 10000000000
Traceback (most recent call last):
File "/home/bork/work/homepage/linear.py", line 18, in <module>
run(int(sys.argv[1]))
File "/home/bork/work/homepage/linear.py", line 13, in run
list1 = [1] * n + [2]
MemoryError
real 0m0.090s
user 0m0.034s
sys 0m0.018s
不过本文不讨论内存使用，所以我们可以忽略这个问题。
那么，为什么 linear.py 很快呢？
现在我将试着解释为什么 linear.py 很快。
再看一下我们的代码:
def intersection(list1, list2):
set1 = set(list1) # this is a hash set
result = []
for y in list2:
if y in set1:
result.append(y)
return result
假设 list1 和 list2 都是大约 10,000,000 个不同元素的列表，这样的元素数量可以说是很大了！
那么为什么它还能够运行得如此之快呢？因为 hashmap！！！
hashmap 查找是即时的（“常数级时间”）
我们看一下快速版程序中的 if 语句：
if y in set1:
result.append(y)
你可能会认为如果 set1 包含 1000 万个元素，那么这个查找——if y in set1 会比 set1 包含 1000 个元素时慢。但事实并非如此！无论 set1 有多大，所需时间基本是相同的（超级快）。
这是因为 set1 是一个 hash set 集合，它是一种只有键没有值的 hashmap 或 hashtable 结构。
我不准备在本文中解释 为什么 hashmap 查找是即时的，但是神奇的 Vaidehi Joshi 的 basecs 系列中有关于 hash table 和 hash 函数 的解释，其中讨论了 hashmap 即时查找的原因。
不经意的二次方：现实中的二次算法！
二次时间算法真的很慢，我们看到的的这个问题实际上在现实中也会遇到——Nelson Elhage 有一个很棒的博客，名为 不经意的二次方，其中有关于不经意以二次时间算法运行代码导致性能问题的故事。
二次时间算法可能会“偷袭”你
关于二次时间算法的奇怪之处在于，当你在少量元素（如 1000）上运行它们时，它看起来并没有那么糟糕！没那么慢！但是如果你给它 1,000,000 个元素，它真的会花费几个小时去运行。
所以我认为它还是值得深入了解的，这样你就可以避免无意中使用二次时间算法，特别是当有一种简单的方法来编写线性时间算法（例如使用 hashmap）时。
总是让我感到一丝神奇的 hashmap
hashmap 当然不是魔法（你可以学习一下为什么 hashmap 查找是即时的！真的很酷！），但它总是让人 感觉 有点神奇，每次我在程序中使用 hashmap 来加速，都会使我感到开心 :)
via: https://jvns.ca/blog/2021/09/10/hashmaps-make-things-fast/
作者：Julia Evans 选题：lujun9972 译者：unigeorge 校对：校对者ID